Faberlic-partner.ru

Faberlic-partner.ru - фатоватый ресурс

Метки: Закон движения и траектория материальной точки путь и перемещение, траектория материальной точки формула.

Траектории трёх объектов (угол запуска — 70°, Distance — расстояние, Height — высота), разное лобовое сопротивление

Траекто́рия материа́льной то́чки  — линия в трёхмерном пространстве, представляющая собой множество точек, в которых находилась, находится или будет находиться материальная точка при своём перемещении в пространстве.[1]. Существенно, что понятие о траектории имеет физический смысл даже при отсутствии какого-либо по ней движения.

Кроме того, и при наличии движущегося по ней объекта, траектория, изображаемая в наперёд заданной системе пространственных координат, сама по себе не может ничего определённого сказать в отношении причин его движения, пока не проведён анализ конфигурации поля действующих на него сил в той же координатной системе.[2]

Не менее существенно, что форма траектории неотрывно связана и зависит от конкретной системой отсчёта, в которой описывается движение. [3]

Содержание

Описание траектории

Прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в инерциальной системе в общем случае будет параболическим в равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта.

Принято описывать траекторию материальной точки в наперёд заданной системе координат при помощи радиус-вектора, направление, длина и начальная точка которого зависят от времени. При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны, находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях. При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны, направленном к дуге из мгновенного центра поворота, находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том прямая линия рассматривается как предельный случай кривой, радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности. И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность сопряжённых дуг.

Существенно, что форма траектории зависит от системы отсчёта, избранной для описания движения материальной точки. Так прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в инерциальной системе в общем случае будет параболическим (см. рисунок).

Связь со скоростью и нормальным ускорением

Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории точки. При этом существует связь между величиной скорости , нормальным ускорением и радиусом кривизны траектории в данной точке:

Связь с уравнениями динамики

Представление траектории как следа, оставляемого движением материальной точки, связывает чисто кинематическое понятие о траектории, как геометрической проблеме, с динамикой движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение уравнений Ньютона (при наличии полного набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки. И наоборот, зная траекторию материальной точки в инерциальной системе отсчёта и её скорость в каждый момент времени, можно определить силы, действовавшие на неё.

Траектория свободной материальной точки

В соответствии с Первым законом Ньютона, иногда называемым законом инерции должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется инерциальной. Траекторией такого движения является прямая линия, а само движение называется равномерным и прямолинейным.

В соответствии с принципом относительности Галилея, существует бесконечное множество равноправных инерциальных систем, движение которых одна относительно другой не может быть установлено никаким образом путём наблюдения любых процессов и явлений, происходящих только в этих системах. Прямая траектория равномерного движения объекта в одной системе будет выглядеть также прямой в любой другой инерциальной системе.

Если же в некоторой системе отсчёта свободное тело двигается по криволинейной траектории и/или с переменной скоростью, то такая система является неинерциальной.

Движение под действием внешних сил в инерциальной системе отсчёта

Если в заведомо инерциальной системе скорость движения объекта с массой меняется по направлению, даже оставаясь прежней по величине, то есть тело производит поворот и движется по дуге с радиусом кривизны , то объект испытывает нормальное ускорение . Причиной, вызывающей это ускорение, является сила, прямо пропорциональная этому ускорению. В этом состоит суть Второго закона Ньютона:

(1)

Где есть векторная сумма сил, действующих на тело, его ускорение, а  — инерционная масса.[4]

В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на скорость, налагаются ограничения — связи. Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется голономной.

Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть уравнения (1), есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.

Существенно, что в случае голономных связей становится возможным описать движение механических систем в обобщённых координатах, входящих в уравнения Лагранжа. Число этих уравнений зависит лишь от числа степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему тел, положение которых необходимо определять для полного описания движения.

Если же связи, действующие в системе идеальны, то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.

Наконец, если действующие силы принадлежат к классу потенциальных, то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.[5]

Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае не справедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.

Движение под действием внешних сил в неинерциальной системе отсчёта

Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование выражения (1), однако в левой части необходимо учесть так называемые силы инерции (в том числе, центробежную силу и силу Кориолиса, связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта)[4].

Иллюстрация

Траектории одного и того же движения в разных системах отсчёта.Вверху в инерциальной системе дырявое ведро с краской несут по прямой над поворачиваемой сценой. Внизу в неинерциальной (след от краски для стоящего на сцене наблюдателя)

Как пример, рассмотрим работника театра, передвигающегося в колосниковом пространстве над сценой по отношению к зданию театра равномерно и прямолинейно и несущего над вращающейся сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме раскручивающейся спирали (если движется от центра вращения сцены) и закручивающейся — в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет равномерным и прямолинейным, хотя по отношению к сцене, которая является неинерциальной системой, его движение будет искривлённым и неравномерным . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие силы Кориолиса, которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в инерциальной системе здания театра будут представлять прямые линии.

Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение прямой линии на вращающейся сцене. В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски. Следовательно, прямолинейное движение в неинерциальной системе отсчёта не будет являться таковым для наблюдателя в инерциальной системе.

Более того, равномерное движение тела в одной системе, может быть неравномерным в другой. Так, две капли краски, упавшие в разные моменты времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ускоренным, а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, будет падать, двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально первой степени времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ускоренной системе координат будет равномерным со скоростью , определяемой задержкой между моментами падения капель:

.

Где  — ускорение свободного падения.

Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, о которой заранее ничего не известно, не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.

Таким образом, в неинерциальной системе:

  • Кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями.
  • Прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.

Примечания

  1. Понятие траектории достаточно наглядно может быть проиллюстрировано трассой бобслея. (Если по условиям задачи можно пренебречь её шириной). И именно трассой, а не самим бобом.
  2. Так улица, в начале которой висит знак «кирпич» останется в принципе траекторией движения по ней. А поезда разной массы, движущиеся под различными тяговыми усилиями на сцепных крюках локомотивов и потому с разной скоростью, будут двигаться по одной и той же траектории, определяемой формой рельсового пути, налагающего на движение несвободного тела (поезда) конкретные связи, интенсивность которых будет в каждом случае различной
  3. Так, Луна обращается вокруг Земли только в системе отсчёта, связанной с их общим центром гравитации (находится внутри Земного шар). В системе же отсчёта, началом которой является Солнце, Луна обращается вокруг него по той же эллиптической орбите, что и Земля, но с периодическими отклонениями от неё на величину расстояния от Луны до Земли. Никакого взаимного обращения этих небесных тел в этом случае просто нет. Наличие земного притяжения для объяснения формы траектории Луны в системе координат, связанной с Солнцем, вообще не обязательно.Так, исчезни Земля, Луна могла бы продолжать двигаться, как самостоятельное небесное тело, по той же самой старой траектории , а её периодические возмущения можно было бы тогда в качестве гипотезы объяснить изменением силы тяготения, скажем, за счёт вариации массы Солнца по причине пульсации его светимости (что, кстати, и наблюдается в определённых пределах в действительности). И обе упомянутые формы траектории истинны и оба объяснения их формы на основании правильно проведённого анализа действующих сил справедливы. Но они исключают друг друга, как исключается возможность одновременного рассмотрения при выборе той или иной системы координат.
  4. 1 2 С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.,1967 г. Издательство «Наука».Главная редакция физико-математической литературы.
  5. Физический энциклопедический словарь/ Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред.кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич,А. С. Боровик-Романов и др. М.: Сов.энциклопедия, 1983. — 323 с.,ил, 2 л.цв.ил. страница 282.

Литература

  • Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
  • Фриш С. А. и Тиморева А. В. Курс общей физики, Учебник для физико-математических и физико-технических факультетов государственных университетов, Том I. М.: ГИТТЛ, 1957

Ссылки

Tags: Закон движения и траектория материальной точки путь и перемещение, траектория материальной точки формула.